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Algebraic Geometry I: Schemes: With Examples and Exercises
Die algebraische Geometrie hat ihren Ursprung in der Untersuchung von Systemen von Polynomgleichungen f (x,..., x )=0, 1 1 n... f (x,..., x )=0.
r 1 n Dabei sind die f? k(X,..., X ) Polynome in n Variablen mit Koeffizienten in einem Feld k. i 1 n n Die Menge der Lösungen ist eine TeilmengeV(f,..., f)vonk. Polynomgleichungen sind in der Mathematik weit verbreitet und werden seit dem Altertum erforscht.
Der Schwerpunkt der algebraischen Geometrie liegt auf der Untersuchung der geometrischen Struktur ihrer Lösungsmengen. n Wenn die Polynome f linear sind, dann ist V(f,..., f ) ein Untervektorraum von k.
Seine i 1 r „Größe“ wird durch seine Dimension gemessen und er kann als der Kern der linearen n r Abbildung k? k, x=(x,..., x )? (f (x),..., f (x)). 1 n 1 r Für beliebige Polynome ist V(f,..., f ) im Allgemeinen kein Untervektorraum. Um ihn zu untersuchen, nutzt man die enge Verbindung von Geometrie und Algebra, die eine Schlüsseleigenschaft der algebraischen Geometrie ist, und deren erste Manifestation die folgende ist: Wenn g = g f +...
g f 1 1 r r eine Linearkombination der f (mit Koeffizienten g? k(T,..., T )) ist, dann haben wir i i 1 n V(f,..., f)= V(g, f,..., f ). Die Menge der Lösungen hängt also nur von dem durch f erzeugten Ideal 1 r 1 r a? k(T,..., T ) ab.
| ISBN: | 9783658307325 |
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| Einband: | Taschenbuch |
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