The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphism
Die Gruppe der Hamiltonschen Diffeomorphismen Ham(M, 0) einer symplektischen Mannigfaltigkeit (M, 0) spielt sowohl in der Geometrie als auch in der klassischen Mechanik eine grundlegende Rolle. Für einen Geometer ist dies, zumindest unter bestimmten Annahmen über die Mannigfaltigkeit M, nur die verbundene Komponente der Identität in der Gruppe aller symplektischen Diffeomorphismen.
Aus der Sicht der Mechanik ist Ham(M, O) die Gruppe aller zulässigen Bewegungen. Was ist die minimale Energiemenge, die erforderlich ist, um einen gegebenen Hamiltonschen Diffeomorphismus I zu erzeugen? Ein Versuch, diese natürliche Frage zu formalisieren und zu beantworten, hat H. Hofer HI) (1990) zu einer bemerkenswerten Entdeckung geführt.
Es stellt sich heraus, dass die Lösung dieses Variationsproblems als eine geometrische Größe interpretiert werden kann, nämlich als der Abstand zwischen I und der Identitätstransformation. Außerdem ist dieser Abstand mit einer kanonischen biinvarianten Metrik auf Ham(M, 0) verbunden.
Seit Hofers Arbeit ist diese neue Geometrie im Rahmen der modernen symplektischen Topologie intensiv untersucht worden. In dem vorliegenden Buch werde ich einige dieser Entwicklungen beschreiben.
Hofers Geometrie ermöglicht es uns, verschiedene Begriffe und Probleme zu studieren, die aus der bekannten endlichdimensionalen Geometrie im Zusammenhang mit der Gruppe der Hamiltonschen Diffeomorphismen stammen. Sie erweisen sich als sehr verschieden von dem üblichen Kreis der Probleme, die in der symplektischen Topologie betrachtet werden, und erweitern somit unsere Sicht der symplektischen Welt erheblich.
| ISBN: | 9783764364328 |
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| Einband: | Taschenbuch |
| Erscheinungsjahr: | 2001 |
| Seitenzahl: | 136 |
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