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A Mathematical Primer on Linear Optimization
Das Buch bietet eine in sich geschlossene mathematische Einführung in die lineare Optimierung für Studierende der Mathematik im Grundstudium. Das Buch eignet sich gleichermaßen für Studierende der Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften, die ein tieferes Verständnis der mathematischen Aspekte des Themas erlangen möchten.
Das Problem der linearen Optimierung wird aus verschiedenen Perspektiven analysiert: topologisch, algebraisch, geometrisch, logisch und algorithmisch. Vorkenntnisse in diesen Bereichen sind jedoch nicht erforderlich. Die wesentlichen Details werden immer in einem speziellen Abschnitt am Ende eines jeden Kapitels erläutert.
Das technische Material wird durch zahlreiche Beispiele, Probleme mit vollständig ausgearbeiteten Lösungen und eine Reihe von Übungsvorschlägen illustriert.
In Kapitel 1 werden verschiedene Formulierungen des linearen Optimierungsproblems vorgestellt und in Bezug auf zulässige Vektoren und Optimierer gesetzt. Anschließend werden in Kapitel 2 hinreichende Bedingungen für die Existenz von Optimierern auf der Grundlage topologischer Techniken erörtert.
Das Hauptziel von Kapitel 3 ist es, einen Weg zu finden, um zu entscheiden, ob ein zulässiger Vektor ein Optimierer ist oder nicht, und sich dabei auf das Lemma von Farkas zu stützen. In Kapitel 4 wird die lineare Algebra für die Berechnung von Optimierern über grundlegende zulässige Vektoren verwendet. Eine geometrische Charakterisierung dieser Vektoren ist das Ziel von Kapitel 5.
In Kapitel 6 wird die Dualität diskutiert, die eine neue Technik zum Auffinden von Optimierern darstellt. In Kapitel 7 wird eine Einführung in die Berechnungskomplexität gegeben, um die Effizienz von linearen Optimierungsalgorithmen zu analysieren. Es wird gezeigt, dass die Komplexität eines Brute-force-Algorithmus nicht polynomiell ist.
Kapitel 8 ist auf den Simplex-Algorithmus ausgerichtet. Es enthält den Beweis seiner Solidität und Vollständigkeit und eine Erklärung seiner nicht-polynomiellen Komplexität.
Kapitel 9 schließlich konzentriert sich auf das ganzzahlige Optimierungsproblem mit dem Schwerpunkt auf vollständiger Unimodularität. Ein Algorithmus, der auf der Branch-and-Bound-Technik basiert, wird analysiert.
| ISBN: | 9781848903159 |
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| Einband: | Taschenbuch |
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