Originaltitel:
Quantized Number Theory, Fractal Strings and the Riemann Hypothesis: From Spectral Operators to Phase Transitions and Universality
Inhalt des Buches:
Die Untersuchung der Beziehung zwischen der Geometrie, der Arithmetik und den Spektren von Fraktalen ist ein Thema von großem Interesse in der zeitgenössischen Mathematik. Dieses Buch trägt auf verschiedene und neue Weise zur Literatur zu diesem Thema bei. Insbesondere bieten die Autoren eine strenge und detaillierte Studie des Spektraloperators, einer Karte, die die Geometrie fraktaler Strings auf ihr Spektrum überträgt. Zu diesem Zweck verwenden und entwickeln sie Methoden aus der fraktalen Geometrie, der Funktionalanalysis, der komplexen Analysis, der Operatortheorie, der partiellen Differentialgleichungen, der analytischen Zahlentheorie und der mathematischen Physik. Ursprünglich führten M. L. Lapidus und M. van Frankenhuijsen den Spektraloperator "heuristisch" in ihre Entwicklung der Theorie der fraktalen Strings und ihrer komplexen Dimensionen ein, insbesondere in ihrer Neuinterpretation der früheren Arbeit von M. L. Lapidus und H. Maier über inverse Spektralprobleme für fraktale Strings und die Riemann-Hypothese. Eines der Hauptthemen des Buches ist es, einen strengen Rahmen zu schaffen, in dem die entsprechende Frage "Kann man die Form einer fraktalen Kette hören? ' oder, äquivalent dazu, 'Kann man Informationen über die Geometrie eines fraktalen Strings erhalten, wenn man sein Spektrum kennt? ' in Bezug auf die Invertierbarkeit oder die Quasi-Invertierbarkeit des Spektraloperators umformuliert werden kann.
Die infinitesimale Verschiebung der reellen Linie wird zunächst genau als Differenzierungsoperator auf einer Familie von geeignet gewichteten Hilberträumen von Funktionen auf der reellen Linie definiert und durch einen Dimensionsparameter c indiziert. Dann wird der Spektraloperator über die Funktionsrechnung als Funktion der infinitesimalen Verschiebung definiert. Auf diese Weise wird er als ein natürliches "Quanten"-Analogon der Riemannschen Zeta-Funktion betrachtet. Genauer gesagt wird der Spektraloperator in diesem Rahmen als zusammengesetzte Abbildung der Riemannschen Zetafunktion mit der infinitesimalen Verschiebung definiert, die als unbeschränkter Normaloperator betrachtet wird, der auf den obigen Hilbert-Raum wirkt. Es wird gezeigt, dass die Quasi-Invertierbarkeit des Spektraloperators eng mit der Existenz kritischer Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion verbunden ist, was zu einer neuen spektralen und operatortheoretischen Neuformulierung der Riemannschen Hypothese führt. Demnach ist der Spektraloperator für alle Werte des Dimensionsparameters c im kritischen Intervall (0,1) quasi-invertierbar (außer im mittelfraktalen Fall, wenn c =1/2), und zwar nur dann, wenn die Riemann-Hypothese (RH) wahr ist. Eine verwandte, aber scheinbar ganz andere Umformulierung der RH, die auf den zweiten Autor zurückgeht und als "asymmetrisches Kriterium für die RH" bezeichnet wird, wird ebenfalls ausführlich erörtert: Der Spektraloperator ist nämlich für alle Werte von c im linkskritischen Intervall (0,1/2) invertierbar, wenn und nur wenn die RH wahr ist.
Diese spektralen Neuformulierungen von RH führten in diesem Zusammenhang auch zur Entdeckung mehrerer "mathematischer Phasenübergänge" für die Form des Spektrums, die Invertierbarkeit, die Begrenztheit oder die Unbegrenztheit des Spektraloperators, die entweder im mittelfraktalen Fall oder im höchstfraktalen Fall auftreten, wenn die zugrunde liegende fraktale Dimension gleich 1/2 bzw. 1 ist. Insbesondere die mittelfraktale Dimension c=1/2 spielt die Rolle eines kritischen Parameters in der statistischen Quantenphysik und in der Theorie der Phasenübergänge und kritischen Phänomene. Darüber hinaus liefern die Autoren ein "Quantenanalogon" zu Voronins klassischem Theorem über die Universalität der Riemannschen Zeta-Funktion. Darüber hinaus erhalten und untersuchen sie quantisierte Gegenstücke der Dirichlet-Reihe und des Euler-Produkts für die Riemannsche Zeta-Funktion, von denen gezeigt wird, dass sie (in einem geeigneten Sinne) sogar innerhalb des kritischen Streifens konvergieren. Aus pädagogischen Gründen ist der größte Teil des Buches dem Studium der quantisierten Riemannschen Zetafunktion gewidmet. Es ist jedoch zu erwarten, dass die in dieser Monographie erzielten Ergebnisse zu einer Quantisierung der meisten klassischen arithmetischen Zetafunktionen führen werden und somit verschiedene Aspekte der analytischen Zahlentheorie und der arithmetischen Geometrie weiter "natürlich quantisieren".
Das Buch soll sowohl für Experten als auch für Nicht-Experten zugänglich sein, einschließlich Mathematik- und Physikstudenten und Postdocs, die sich für fraktale Geometrie, Zahlentheorie, Operatortheorie und Funktionalanalysis, Differentialgleichungen, komplexe Analysis, Spektraltheorie sowie mathematische und theoretische Physik interessieren. Wo immer es notwendig ist, wird ein angemessener Hintergrund zu den verschiedenen beteiligten Fächern geliefert und die neue Arbeit in den richtigen historischen Kontext gestellt. Mehrere Anhänge, die den Haupttext ergänzen, sind ebenfalls enthalten.
Weitere Daten des Buches:
| ISBN: | 9789813230798 |
| Autor: | |
| Verlag: | |
| Einband: | Hardcover |
| Erscheinungsjahr: | 2021 |
| Seitenzahl: | 496 |
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