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Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics: Volume 151
Das Buch soll zwei Zwecken dienen. Der erste und offensichtlichere Zweck ist die Darstellung des aktuellen Stands der algebraischen Forschung über residuierte Strukturen im Zusammenhang mit substrukturellen Logiken. Das zweite, weniger offensichtliche, aber ebenso wichtige Ziel ist es, eine einigermaßen sanfte Einführung in die algebraische Logik zu geben. Zu Beginn steht das zweite Ziel im Vordergrund. So findet der Leser in den ersten Kapiteln eine Einführung in die universelle Algebra für Logiker, einen Crashkurs in nichtklassischer Logik für Algebraiker, eine Einführung in residuierte Strukturen, einen Überblick über Kalküle im Gentzen-Stil sowie einige Leckerbissen der Beweistheorie - darunter der berühmte Hauptsatz oder Schnitteliminierungssatz. Dies führt natürlich zu einer Diskussion der Verbindungen zwischen Logik und Algebra, wo wir versuchen zu zeigen, wie sie zwei Seiten derselben Medaille bilden. Wir stellen uns vor, dass die ersten Kapitel als Lehrbuch für einen Graduiertenkurs verwendet werden könnten, vielleicht mit dem Titel Algebra und substrukturelle Logik.
Im weiteren Verlauf des Buches gewinnt das erste Ziel die Oberhand über das zweite. Obwohl es schwierig ist, den genauen Punkt des Gleichgewichts zu spezifizieren, kann man mit Sicherheit sagen, dass wir den technischen Teil mit der Diskussion der verschiedenen Vervollständigungen von Residuenstrukturen beginnen. Dazu gehören Dedekind-McNeille-Vervollständigungen und kanonische Erweiterungen. Vervollständigungen werden später bei der Untersuchung verschiedener Endlichkeitseigenschaften wie der Eigenschaft endlicher Modelle, der Erzeugung von Varietäten durch ihre endlichen Mitglieder und der endlichen Einbettbarkeit verwendet. Die anschließende algebraische Analyse der Schnitteliminierung greift ebenfalls auf Vervollständigungen zurück. Die Entscheidbarkeit von Logiken, Gleichungs- und Quasi-Gleichungstheorien kommt als nächstes, wobei wir zeigen, dass beweistheoretische Methoden wie die Schnitteliminierung für kleine Logiken/Theorien vorzuziehen sind, während semantische Werkzeuge wie Rabins Theorem für große Theorien besser funktionieren. Dann wenden wir uns dem Satz von Glivenko zu, der besagt, dass eine Formel dann und nur dann eine intuitionistische Tautologie ist, wenn ihre doppelte Negation eine klassische ist. Wir verallgemeinern diesen Satz auf den substrukturellen Bereich und identifizieren für jede substrukturelle Logik ihre Glivenko-Äquivalenzklasse mit dem kleinsten und dem größten Element. Dies ist auch der Punkt, an dem wir beginnen, Gitter von Logiken und Varietäten zu untersuchen, und nicht nur einzelne Beispiele. Wir fahren in dieser Richtung fort, indem wir eine Reihe von Ergebnissen zu minimalen Varietäten/maximalen Logiken präsentieren.
Ein typisches Theorem besagt, dass für eine gegebene bekannte Sorte ihr Untersortengitter genau so und so viele minimale Mitglieder hat (wobei die Werte für so und so unter anderem Kontinuum, abzählbar viele und zwei sind). In den letzten beiden Kapiteln konzentrieren wir uns auf den Varietätenverband, der Logiken ohne Kontraktion entspricht. In dem einen beweisen wir ein negatives Ergebnis: dass es keine nicht-trivialen Abspaltungen in dieser Varietät gibt. In dem anderen beweisen wir ein positives Ergebnis: dass semisimple Varietäten mit diskriminatorischen Varietäten übereinstimmen.
Im zweiten, eher technischen Teil des Buches lässt sich ein weiterer Übergangsprozess nachvollziehen. Wir beginnen nämlich mit logisch geprägten Technizitäten und enden mit algebraisch geprägten. Hier markiert vielleicht die algebraische Wiedergabe der Glivenko-Theoreme den Gleichgewichtspunkt, zumindest in dem Sinne, dass Endlichkeitseigenschaften, Entscheidbarkeit und Glivenko-Theoreme von klarem Interesse für Logiker sind, während Semisimplizität und Diskriminatorensorten universelle Algebra par exellence sind. Es ist Sache des Lesers zu beurteilen, ob es uns gelungen ist, diese Fäden zu einem nahtlosen Gewebe zu verweben.
| ISBN: | 9780444521415 |
| Autor: | |
| Verlag: | |
| Sprache: | Englisch |
| Einband: | Hardcover |
| Erscheinungsjahr: | 2007 |
| Seitenzahl: | 532 |
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