Spectral Theory Of Operators In Hilbert Space
Die vorliegenden Vorlesungen sollen eine Einführung in die Spektralanalyse von selbstadjunkten Operatoren im Rahmen der Hilbert-Raum-Theorie geben. Der leitende Begriff in diesem Ansatz ist der der spektralen Repräsentation.
Gleichzeitig wird der Begriff der Funktion eines Operators hervorgehoben. Die Definition des Hilbert-Raums: In der Mathematik ist ein Hilbert-Raum ein reeller oder komplexer Vektorraum mit einer positiv-definiten hermiteschen Form, der unter seiner Norm vollständig ist. Er ist also ein Raum mit innerem Produkt, was bedeutet, dass er Begriffe wie Abstand und Winkel (insbesondere den Begriff der Orthogonalität oder Rechtwinkligkeit) besitzt.
Die Forderung nach Vollständigkeit stellt sicher, dass bei unendlichdimensionalen Hilbert-Räumen die Grenzen erwartungsgemäß vorhanden sind, was verschiedene Definitionen aus der Infinitesimalrechnung erleichtert. Ein typisches Beispiel für einen Hilbert-Raum ist der Raum der quadratisch summierbaren Folgen.
Hilbert-Räume ermöglichen die Anwendung einfacher geometrischer Konzepte wie Projektion und Änderung der Basis auf unendlich dimensionale Räume, wie z. B. Funktionsräume.
Sie bieten einen Kontext zur Formalisierung und Verallgemeinerung der Konzepte der Fourier-Reihe im Sinne beliebiger orthogonaler Polynome und der Fourier-Transformation, die zentrale Konzepte der Funktionalanalysis sind. Hilbert-Räume sind von entscheidender Bedeutung für die mathematische Formulierung der Quantenmechanik.
| ISBN: | 9781258449834 |
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| Sprache: | Englisch |
| Einband: | Taschenbuch |
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