Königlicher Weg zur Topologie: Konvergenz von Filtern - Topologie und Konvergenztheorie erforschen

Königlicher Weg zur Topologie, A: Konvergenz von Filtern (Szymon Dolecki)

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Originaltitel:

Royal Road to Topology, A: Convergence of Filters

Inhalt des Buches:

Topologische Räume sind ein Spezialfall von Konvergenzräumen.

Dieses Lehrbuch führt in die Topologie in einem breiteren Kontext der Konvergenztheorie ein. Der Titel spielt auf die Vorteile des vorliegenden Ansatzes an, der erfreulicher ist als viele traditionelle Ansätze: Man reist bequemer durch mathematische Landschaften und sieht mehr.

Das Buch richtet sich sowohl an diejenigen, die die Topologie erlernen wollen, als auch an diejenigen, die bereits über Topologiekenntnisse verfügen, aber neugierig sind, sie aus einer anderen Perspektive zu betrachten, die weit über das traditionelle Wissen hinausgeht. Die üblichen Themen der klassischen Kurse der mengentheoretischen Topologie werden in einem frühen Stadium des Buches behandelt - unter dem Gesichtspunkt der Konvergenz von Filtern, aber auf eine eher elementare Weise. Später tauchen die meisten dieser Fakten als einfache Konsequenzen aus fortgeschritteneren Aspekten der Konvergenztheorie auf.

Die erwähnten Vorzüge des Ansatzes ergeben sich aus der Tatsache, dass die Klasse der Konvergenzen unter mehreren natürlichen, wesentlichen Operationen geschlossen ist, unter denen die Klasse der Topologien nicht geschlossen ist! Dementsprechend ergänzt die Konvergenztheorie die Topologie, so wie der Bereich der komplexen Zahlen den Bereich der reellen Zahlen algebraisch vervollständigt. Die Konvergenztheorie ist aufgrund ihres angemessenen Abstraktionsniveaus intuitiv und operativ, allgemein genug, um die zugrundeliegenden Gesetze zu erfassen, aber nicht zu sehr, um nicht an intuitiver Attraktivität zu verlieren.