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Selected Unsolved Problems in Coding Theory
Unter Verwendung einer originellen Darstellungsweise und unter Betonung des rechnerischen Charakters des Themas untersucht dieses Buch eine Reihe von ungelösten Problemen, die in der Codierungstheorie noch bestehen. Die Theorie der fehlerkorrigierenden Codes ist ein etablierter, aber immer noch höchst relevanter Zweig der Mathematik, der sich mit der zuverlässigen Übertragung von Daten über einen "verrauschten" Kanal beschäftigt. Trotz ihrer häufigen Verwendung in einer Reihe von Zusammenhängen - die ersten Nahaufnahmen der Marsoberfläche, die von der NASA-Raumsonde Mariner 9 gemacht wurden, wurden mit einem Reed-Muller-Code zur Erde übertragen - enthält das Thema immer noch interessante ungelöste Probleme, die sich der Lösung durch einige der prominentesten Mathematiker der letzten Jahrzehnte widersetzt haben.
Die Autoren verwenden Sage - ein kostenloses Open-Source-Mathematiksoftwaresystem - zur Veranschaulichung ihrer Ideen, indem sie zunächst Hintergrundinformationen zu linearen Blockcodes liefern und einige der speziellen Familien von Codes vorstellen, die in späteren Kapiteln untersucht werden, wie quadratische Residuen und algebraisch-geometrische Codes. Außerdem wird die Theorie untersucht, die selbstduale Codes, Gitter und die Invariantentheorie miteinander verbindet, was zu einer faszinierenden Analogie zwischen der Duursma-Zetafunktion und der Zetafunktion einer algebraischen Kurve über einem endlichen Feld führt. Die Autoren untersuchen dann eine Verbindung mit der Theorie der Blockmuster und dem Assmus-Mattson-Theorem. Weitere Kapitel befassen sich mit dem kniffligen Problem, eine nicht-triviale Schätzung für die Anzahl der Lösungen einer hyperelliptischen Polynomgleichung "kleinen" Grades über einem endlichen Feld zu finden, sowie mit den besten asymptotischen Schranken für einen binären linearen Blockcode. Es werden auch einige der geheimnisvolleren Aspekte im Zusammenhang mit modularen Formen und algebraisch-geometrischen Codes diskutiert.
Ausgewählte ungelöste Probleme in der Kodierungstheorie richtet sich an Doktoranden und Forscher im Bereich der algebraischen Kodierungstheorie, insbesondere an diejenigen, die an der Suche nach einigen aktuellen ungelösten Problemen interessiert sind. Vertrautheit mit Konzepten der Algebra, Zahlentheorie und modularen Formen wird vorausgesetzt. Das Werk kann als ergänzendes Lesematerial in einem Graduiertenkurs über Kodierungstheorie oder zum Selbststudium verwendet werden.
| ISBN: | 9780817682552 |
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| Sprache: | Englisch |
| Einband: | Hardcover |
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