Rationale Punkte auf elliptischen Kurven

Leserbewertungen

Zusammenfassung:

Das Buch ist eine sehr empfehlenswerte Einführung in elliptische Kurven und Zahlentheorie und zeichnet sich durch seine Zugänglichkeit für Nicht-Mathematiker und Studenten aus. Obwohl es in seinen Beweisen nicht streng ist, deckt es wesentliche Konzepte effektiv ab und enthält Übungen zum Verständnis. Der Text wird für seine Klarheit und leichte Verständlichkeit gelobt und eignet sich daher auch für das Selbststudium.

Vorteile:

Gut geschrieben, leicht verständlich, auch für Nicht-Mathematiker zugänglich, liefert nützliche Informationen ohne überwältigende technische Details, enthält Übungen, die die Beschäftigung mit dem Material fördern, und ist optisch ansprechend.

Nachteile:

Es fehlen strenge Beweise für Theoreme, es könnte für einige fortgeschrittene Leser zu vereinfacht sein, und einige Beweise können für diejenigen mit einem starken mathematischen Hintergrund langwierig sein.

(basierend auf 8 Leserbewertungen)

Originaltitel:

Rational Points on Elliptic Curves

Inhalt des Buches:

Die Theorie der elliptischen Kurven ist eine angenehme Mischung aus Algebra, Geometrie, Analysis und Zahlentheorie. Dieser Band betont dieses Zusammenspiel bei der Entwicklung der grundlegenden Theorie und bietet damit fortgeschrittenen Studenten die Möglichkeit, die Einheit der modernen Mathematik zu schätzen.

Gleichzeitig wurden alle Anstrengungen unternommen, um nur Methoden und Ergebnisse zu verwenden, die üblicherweise in den Lehrplan für Studenten aufgenommen werden. Diese Zugänglichkeit, der informelle Schreibstil und eine Fülle von Übungen machen Rational Points on Elliptic Curves zu einer idealen Einführung für Studenten aller Niveaus, die sich für diophantische Gleichungen und arithmetische Geometrie interessieren. Ganz konkret ist eine elliptische Kurve die Menge der Nullstellen eines kubischen Polynoms in zwei Variablen.

Wenn das Polynom rationale Koeffizienten hat, dann kann man nach einer Beschreibung der Nullstellen fragen, deren Koordinaten entweder ganze oder rationale Zahlen sind. Diese zahlentheoretische Frage ist das Hauptthema von Rational Points on Elliptic Curves.

Zu den behandelten Themen gehören die Geometrie und die Gruppenstruktur elliptischer Kurven, das Nagell-Lutz-Theorem zur Beschreibung von Punkten endlicher Ordnung, das Mordell-Weil-Theorem über die endliche Erzeugung der Gruppe rationaler Punkte, das Thue-Siegel-Theorem über die Endlichkeit der Menge ganzzahliger Punkte, Theoreme über die Zählung von Punkten mit Koordinaten in endlichen Feldern, Lenstras Algorithmus zur Faktorisierung elliptischer Kurven sowie eine Diskussion der komplexen Multiplikation und der Galois-Darstellungen, die mit Torsionspunkten verbunden sind. Weitere neue Themen der zweiten Auflage sind eine Einführung in die Kryptographie mit elliptischen Kurven und eine kurze Diskussion des verblüffenden Beweises von Fermats letztem Satz von Wiles et al.

mit Hilfe von elliptischen Kurven.